טיפים שימושיים

סכום משפט זוויות המשולש

Pin
Send
Share
Send
Send


סעיפים: מתמטיקה

במאמר זה אני שוקל את אחת הדרכים להעצים את הפעילות הקוגניטיבית של תלמידי בתי הספר ולהגדיל את רמת החשיבה ההגיונית שלהם: אנו מציבים בפני הילדים את הבעיה למצוא דרכים שונות להוכיח את אותו משפט, בעזרת דוגמאות שאנו מראים כיצד הדבר נעשה.

אך כיצד לעודד את התלמידים לחפש באופן עצמאי דרכים שונות להוכחת משפטים, כיצד לארגן עבודה מתאימה עם התלמידים בכיתה ובפעילויות חוץ-לימודיות. זה חשוב במיוחד בשלב הראשוני של לימוד הגיאומטריה בכיתה ז '- לצלול לתודעת הילדים את הצורך בחיפוש אחר עדויות חדשות. אנו מקבעים מיומנות זו בשלבים הבאים של לימוד הגיאומטריה.

ראשית אנו שוקלים את ההוכחות של משפטים מסוימים בדרכים שונות.

סכום משפט זוויות המשולש

ניסוח: סכום הזוויות הפנימיות של המשולש הוא 180 מעלות.

הוכחה:

הנחנו זוויות בהתאמה השוות לזוויות A ו- B מצדי זווית ה- ICA: זווית השווה ל- A מונחת מהקרן CA באותו חצי מישור ביחס לקו CA שאינו מכיל נקודה B (איור 1). יש להוכיח כי הזווית NСM שווה ל 180 מעלות, כלומר פרוס.

מהשוויון בין זוויות השקר הפנימיות A ו- MCA, באה ההקבלה של הקווים הישרים SM ו- AB. באופן דומה אנו רואים כי CN ║ AB.

בהתייחס לאקסיומה המקבילה, אנו מסיקים כי הקווים הישרים SM ו- CN חופפים זה לזה. לכן, ∟МСN = 180 מעלות, והוא מכיל את הסכום של שלוש הזוויות הפנימיות של המשולש.

צייר קרן AC וקורה CF המקבילה ל- AB. ∟A = ∟DCF כמתאים לקווים מקבילים CF ו- AB ול AC מבודד.

∟В = ∟BCF כצלבים פנימיים שוכבים עם קווים ישרים מקבילים CF ו- АВ וכלי טיס מבודדים. ∟ACD = 180 מעלות, מכיוון זווית זו נפרשת, שפירושה: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.

צייר את קרני השמש ואת הרמקולים וצייר את ה- SM ║ AB. ∟DCF = ∟ACB כאנכי, ∟A = ∟FCM כמתאים לקווים מקבילים CM ו- AB ול AC שברור. ∟В = ∟MCB כצלבים פנימיים שוכבים עם קווים מקבילים CM ו- AB וכלי טיס מבודדים. ∟DCB = 180 מעלות, מכיוון זווית זו נפרשת. אולם זווית פרושה זו התבררה כשווה לסכום של שלוש הזוויות הפנימיות של המשולש, שפירושו: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.

צייר SM М VA. ∟A = ∟ MCA כצלב פנימי שוכב ב- SM при VA וב AC secant. ∟ВСМ = ∟А + ∟С. ∟ВСМ + ∟В = 180º, כי פינות אלה חד-צדדיות עם קווים ישרים מקבילים CM ו- VA וכלי טיס מבודדים, מה שאומר: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.

משפט על תלות בזוויות משולש בצדדיו

ניסוח: במשולש כנגד הצד הגדול נמצא זווית גדולה יותר.

הוכחה:

שקול את המקרה כאשר ב- in ABC AC> AB. קבענו למטרה להוכיח ש- ∟ADM = ∟АЕМ> ЕС as (יישמנו את המאפיינים של הזוויות החיצוניות ∆ MVD ו- ∆ С∆М). מכאן ∟B> ∟C.

ניתן להשמיט את הניצבים BT ו- CI לקורה AM (איור 7).

ואז מסתבר ש- ∟ABT = ∟ACI, ∟В> ∟ АВТ = ∟ACI> ∟С.
אז, ∟В> ∟С. המשפט מוכח.

שלוש משפט בניצב (ישיר והפוך)

משפט (משפט ישיר): אם קו ישר המצויר במטוס דרך בסיס האלכסוני הוא אנכי לתחזיתו, אז הוא בניצב למוטה ביותר.

הוכחה:

אני שיטה:
(הוכחת המשפט הישיר)

נניח t ┴ OA. נניח ש- SA אינו בניצב לקו t. צייר SB ┴ t; ואז SA> SB. משולשים ימניים SOA ו- SOB: OA2 = SA2 - SO2, OB2 = SB2 - SO2. אנו מקבלים: OA> OB. בינתיים, OA 3) סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור מחושב על ידי הנוסחה 180º (k -2). בכדי להשיג (k + 1) -גון מ- k-gon, מספיק "לשבור" את אחד הצדדים, ובלי לאבד קמור, הוסף שני קווים שבורים, ואז 180 ° יתווספו לסכום הזוויות הפנימיות של ה- k-gon בעבר (לזוויות ∆ABC).
180º (k -2) + 180º = 180ºk - 360º + 180º = 180º ((k + 1) - 2). ההוכחה עבור n = k + 1 מוכחת. על פי העיקרון של אינדוקציה מתמטית, ההצהרה נכונה לגבי כל מספר טבעי n, לפחות שלושה. המשפט מוכח.

קבוצת התלמידים השנייה מבצעת את הוכחת המשפט על ידי ציור אלכסונים המגיעים מקודקוד אחד. החבר'ה שמים לב שאם n הוא מספר הצדדים של מצולע קמור, אז (n - 2) הוא מספר המשולשים שנוצרו. ומאז סכום הזוויות הפנימיות של משולש הוא 180 מעלות, ואז סכום הזוויות הפנימיות של n-gon קמור הוא 180 מעלות (n -2).

קבוצת הילדים השלישית מוצאת הוכחה למשפט, מפרקת את המצולע למשולשים משולשים עם קודקוד משותף באזור הפנימי. סכום הזוויות הפנימיות של n-gon קמור הוא 180ºn - 360º = 180º (n -2).

ולבסוף, קבוצת התלמידים הרביעית, הלומדת את איור 12 ומשלימה איור 13 נוסף (אנו מציירים פינות עם צלעות מקבילות בהתאמה לזוויות с1 עד ∟6), מגיעה למסקנה: סכום הזוויות הפנימיות של n-gon קמור הוא 180ºn - 360º = 180 מעלות (n -2).

לאחר ההכנה המקדימה, נציגי כל קבוצה בדירקטוריון מדגימים בפני הכיתה את ההוכחה שנמצאה למשפט.

התברר חגיגת ידע אמיתית!

על ידי התרגלת התלמידים לחיפושים עצמאיים אחר עדויות, עידוד עבודתם בכיוון זה (גם אם הראיות שנמצאו מורכבות יותר מהידוע), ניתן להשיג ידע מוצק ועמוק יותר ולסייע בהגברת העניין בנושא.

תוכן

מהמשפט עולה כי לכל משולש יש לפחות שתי זוויות חריפות. אכן, החלת ההוכחה בסתירה, נניח שלמשולש יש רק זווית חדה אחת או ללא זוויות חריפות כלל. ואז למשולש זה יש לפחות שתי זוויות שכל אחת מהן לפחות 90 מעלות. סכום הזוויות הללו הוא לא פחות מ- 180 °. וזה בלתי אפשרי, מכיוון שסכום כל זוויות המשולש הוא 180 מעלות.

יש קשר מסובך יותר בין זוויות הסף של סימפלקס שרירותי. כלומר, אם L i j < displaystyle L_> האם הזווית בין פני i ו- j של ה- simplex, אז הקובע של המטריצה ​​הבאה (שהיא זרם הדם) הוא 0:

סוגי הזוויות הגדולות ביותר

נבדלים בין סוגי המצולעים הבאים עם שלושה הקודקודים:

  • זווית חריפה, בה כל הזוויות חדות,
  • מלבני, בעל זווית ישרה אחת, ואילו הצדדים היוצרים אותו נקראים רגליים, והצד שנמצא מול הזווית הימנית נקרא היפוזה,
  • סתום, כאשר פינה אחת היא סתמית,
  • שדיים, שבהם שני הצדדים שווים, והם נקראים לרוחב, והשלישי - בסיס המשולש,
  • שווה צלעות, עם שלושת הצדדים השווים.

נבדלים בין המאפיינים העיקריים האופייניים לכל סוג משולש:

  • מול הצד הגדול יותר תמיד יש זווית גדולה יותר, ולהיפך,
  • זוויות הפוכות בגודל שווה הן זוויות שוות, ולהיפך
  • לכל משולש שתי פינות חדות,
  • הפינה החיצונית גדולה יותר מכל פינה פנימית שאינה צמודה אליו,
  • הסכום של כל שתי זוויות הוא תמיד פחות מ- 180 מעלות,
  • הזווית החיצונית שווה לסכום של שתי הזוויות הנותרות שאינן מפריעות לה.

סכום משפט זוויות המשולש

המשפט טוען כי אם תוסיף את כל הזוויות של דמות גיאומטרית נתונה, שנמצאת במישור האוקלידי, הסכום שלהם יהיה 180 מעלות. ננסה להוכיח את המשפט הזה.

נקבל משולש שרירותי עם קודקודי ה- KMN.

התוצאה הבאה באה מהמשפט שהוכח לעיל: לכל משולש יש שתי זוויות חריפות. כדי להוכיח זאת, נניח שלתמונה גיאומטרית נתונה יש רק זווית חדה אחת. ניתן גם להניח שאף אחת מהזוויות אינה חדה. במקרה זה, חייבים להיות לפחות שתי זוויות, שערכן שווה ל- 90 מעלות או יותר. אבל אז סכום הזוויות יהיה יותר מ- 180 מעלות. אבל זה לא יכול להיות, מכיוון שלפי המשפט, סכום הזוויות של משולש הוא 180 ° - לא יותר ולא פחות. זה מה שהיה צריך להוכיח.

נכס מחוץ לפינה

מה הסכום של זוויות המשולש שהם חיצוניים? את התשובה לשאלה זו ניתן להשיג על ידי יישום אחת משתי שיטות. הראשון הוא שצריך למצוא את סכום הזוויות שנלקחות אחת בכל קודקוד, כלומר שלוש זוויות. השנייה מרמזת שעליך למצוא את הסכום של כל שש הזוויות בקודקודים. ראשית, נעסוק באפשרות הראשונה. אז המשולש מכיל שש פינות חיצוניות - בכל קודקוד שתיים.

בנוסף, ידוע כי הזווית החיצונית של משולש שווה לסכום של שני זוויות פנימיות שאינן מפריעות לו. לכן

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

מכאן מתברר כי סכום הפינות החיצוניות, אשר נלקחות אחת אחת ליד כל קודקוד, יהיה שווה ל:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (+А + ∟В + ∟С).

בהתחשב בכך שסכום הזוויות הוא 180 מעלות, ניתן לטעון כי ∟A + ∟B + ∟C = 180 °. וזה אומר ש ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. אם האפשרות השנייה מיושמת, סכום של שש הפינות יהיה בהתאמה גדול כפליים. כלומר, סכום הזוויות החיצוניות של המשולש יהיה:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 מעלות.

משולש ימין

מה הוא סכום הזוויות של משולש זווית ימנית שהם חדים? התשובה לשאלה זו, שוב, נובעת ממשפט הקובע כי הזוויות במשולש מסתכמות ב -180 מעלות. וההצהרה שלנו (נכס) נשמעת כך: במשולש ימני זוויות חריפות מסתכמות עד 90 מעלות. הבה ונוכיח את אמיתותה.

אז, על פי המשפט על סכום הזוויות ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °. מצבנו אומר ש- 90 ° = 90 °. אז מסתבר, ∟К + ∟М + 90 ° = 180 °. כלומר, ∟К + ∟М = 180 ° - 90 ° = 90 °. זה מה שהיינו צריכים להוכיח.

בנוסף לתכונות שתוארו לעיל של משולש זווית ימנית, תוכלו להוסיף את הדברים הבאים:

  • הזוויות השוכנות על הרגליים חדות,
  • ההיפוטוס של משולש גדול מכל הרגליים,
  • סכום הרגליים גדול יותר מההתנפחות,
  • הרגל של המשולש, שנמצאת מול הזווית של 30 מעלות, היא חצי מתנוחה, כלומר היא שווה לחצי ממנו.

כמאפיין נוסף של דמות גיאומטרית זו, אנו יכולים להבחין במשפט הפיתגורס. לטענתה, במשולש עם זווית של 90 מעלות (מלבני), סכום ריבועי הרגליים שווה לריבוע בתנוחה.

סכום הזוויות של משולש ישר

אמרנו קודם לכן כי מצולע עם שלוש קודקודים, המכיל שני צדדים שווים, הוא שווה-שרירים. תכונה זו של דמות גיאומטרית זו ידועה: הזוויות בבסיסה שוות. בואו נוכיח זאת.

קח את משולש ה- KMN, שהוא ישר-שדיים, KN - הבסיס שלו.

אך אנו מעוניינים במה הוא סכום הזוויות של משולש (איזוססל). מכיוון שמבחינה זו אין לו מאפיינים משלו, נעבור מהמשפט שנחשב קודם לכן. כלומר, אנו יכולים לומר ש- +К + ∟М + ∟Н = 180 °, או 2 х ∟К + ∟М = 180 ° (מאז ∟К = ∟Н). לא נוכיח את המאפיין הזה, מכיוון שהמשפט על סכום זוויות המשולש הוכח קודם לכן.

בנוסף לתכונות הנחשבות לגבי זוויות משולש, ישנן אמירות חשובות כל כך:

  • במשולש שווה-גבול, הגובה שהורד לבסיס הוא באותו זמן החציון, ביזור הזווית שנמצאת בין צדדים שווים, כמו גם ציר הסימטריה של בסיסו,
  • החציונים (ביסקטורים, גבהים) הנמשכים לצידי דמות גיאומטרית כזו שווים.

משולש שווה צלעות

זה נקרא גם רגיל, זה המשולש בו כל הצדדים שווים. לכן, הזוויות שוות גם כן. כל אחד מהם 60 מעלות. הבה ונוכיח נכס זה.

נניח שיש לנו משולש KMN. אנו יודעים כי KM = NM = KN. וזה אומר שעל פי מאפיין של זוויות הממוקמות בבסיס במשולש שווה-שרירים, ∟К = ∟М = ∟Н. מכיוון שעל פי המשפט, סכום זוויות המשולש הוא ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °, ואז 3 x ∟К = 180 ° או ∟К = 60 °, ∟М = 60 °, ∟Н = 60 °. לפיכך, ההוכחה מוכחת.

יש גם תכונות כאלה האופייניות למשולש שווה צלעות:

  • החציון, הביסקטור, הגובה בדמות גיאומטרית כזו חופף זה לזה, ואורכם מחושב כ- (√3): 2,
  • אם אנו מתארים מעגל סביב מצולע נתון, אז הרדיוס שלו יהיה שווה ל (√3): 3,
  • אם אתה נכנס למעגל במשולש שווה צלעות, הרדיוס שלו יהיה (ו- x √3): 6,
  • שטח הנתון הגיאומטרי הזה מחושב על ידי הנוסחה: (a2 x √3): 4.

משולש ערמומי

על פי ההגדרה של משולש סתמי, אחת הזוויות שלו היא בטווח שבין 90 ל -180 מעלות. אך בהתחשב בכך ששתי הזוויות האחרות של דמות גיאומטרית זו חדות, אנו יכולים להסיק כי הן אינן עולות על 90 מעלות. לכן המשפט על סכום זוויות המשולש עובד בחישוב סכום הזוויות במשולש סתמי. מסתבר שאנו יכולים לומר בבטחה, בהתבסס על המשפט האמור, כי סכום הזוויות של משולש זוויתי חד הוא 180 מעלות. שוב, משפט זה אינו צריך להוכיח שוב.

Pin
Send
Share
Send
Send