טיפים שימושיים

פיתרון גרפי של משוואות, אי שוויון

Pin
Send
Share
Send
Send


אחת השיטות הנוחות ביותר לפיתרון אי השוויון המרובע היא השיטה הגרפית. במאמר זה נבחן כיצד אי השוויון המרובע נפתר באופן גרפי. ראשית, אנו דנים מהי מהותה של שיטה זו. ואז אנו נותנים אלגוריתם ושוקלים דוגמאות לפיתרון אי השוויון המרובע בצורה גרפית.

ניווט בדפים.

תמצית השיטה הגרפית

באופן כללי דרך גרפית לפתור אי שוויון עם משתנה אחד הוא משמש לא רק לפיתרון אי-שוויון מרובע, אלא גם לאי-שוויון מסוגים אחרים. תמצית השיטה הגרפית לפיתרון אי השוויון הבא: קחו בחשבון את הפונקציות y = f (x) ו- y = g (x), התואמות את הצד השמאלי והימני של אי השוויון, משרטטים את הגרפים שלהם במערכת קואורדינטות אחת מלבנית ומגלים באילו מרווחים הגרף של אחד מהם ממוקם נמוך או גבוה יותר מהשני. הפערים האלה שבהם

  • הגרף של הפונקציה f מעל הגרף של הפונקציה g הם פתרונות של אי השוויון f (x)> g (x),
  • גרף של פונקציה f שאינו נמוך יותר מתרשים של פונקציה g הם פתרונות של אי השוויון f (x) ≥g (x),
  • הגרף של הפונקציה f מתחת לגרף של הפונקציה g הם פתרונות של אי השוויון f (x),
  • גרף של פונקציה f שאינו גבוה יותר מתרשים של פונקציה g הם פתרונות של אי השוויון f (x) ≤g (x).

אנו גם אומרים כי האביסיסות של נקודות הצומת של הגרפים של הפונקציות f ו- g הן פתרונות של המשוואה f (x) = g (x).

אנו מעבירים תוצאות אלה למקרה שלנו - כדי לפתור את אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c (≤,>, ≥).

אנו מציגים שתי פונקציות: הראשון y = a · x 2 + b · x + c (במקרה זה, f (x) = a · x 2 + b · x + c) תואם את הצד השמאלי של אי השוויון המרובע, השני = = 0 (במקרה זה, g (x) = 0) תואם את הצד הימני של אי השוויון. לוח זמנים פונקציה ריבועית f הוא פרבולה, והגרף פונקציה קבועה g הוא קו החורג עם ציר האבסיסה שור.

יתר על כן, על פי השיטה הגרפית לפיתרון אי השוויון, יש צורך לנתח באילו מרווחים הגרף של פונקציה אחת נמצא מעל או מתחת לשני, מה שיאפשר לנו לרשום את הפיתרון הרצוי לאי-השוויון המרובע. במקרה שלנו, עלינו לנתח את מיקום הפרבולה ביחס לציר שור.

בהתאם לערכי המקדמים a, b ו- c, קיימות שש האפשרויות הבאות אפשריות (ייצוג סכמטי מספיק לצרכינו, וניתן להשמיט את ציר ה- Oy, מכיוון שמיקומו אינו משפיע על פיתרון האי-שוויון):



ברישום זה אנו רואים פרבולה שענפיה מכוונים כלפי מעלה ואשר מצטלבת את ציר השור בשתי נקודות שהאבסיסות שלהן x1 ו- x2 . רישום זה תואם את המקרה כאשר המקדם a הוא חיובי (הוא אחראי לכיוון כלפי מעלה של ענפי הפרבולה), וכאשר הערך חיובי. מפלה של טרינום רבוע a · x 2 + b · x + c (לטרינום יש שני שורשים, אותם כינינו כ- x1 ו- x2 , וקיבלנו את ה- x1 שכן מכיוון שציר השור נקודה עם אבסיסה x1 משמאל לנקודת ה- x2 ) אם אתה רוצה פרטים, בנה את הפרבולה y = x 2 −x - 6, המקדם שלה a = 1> 0, D = b 2 −4 · a · c = (- 1) 2 −4 · 1 · (−6) = 25> 0, x1= −2, x2=3 .

לשם הבהרה, נתאר באדום את חלקי הפרבולה הממוקמים מעל ציר האבסיסה, ובכחול - הנמצאים מתחת לציר האבסיסה.

כעת נגלה אילו פערים תואמים את החלקים הללו. השרטוט הבא יעזור לקבוע אותם (בעתיד, אנו נמשוך נפשית הקצאות דומות בצורת מלבנים):

אז בציר אבססיסה שני הפערים הודגשו באדום (−∞, x1) ו- (x2, + ∞), עליהם פרבולה גבוהה יותר מציר השור, הם מהווים את הפיתרון של אי השוויון הריבועי a · x 2 + b · x + c> 0, והפער (x1, x2), יש לו פרבולה מתחת לציר שור, זהו פיתרון של אי השוויון a · x 2 + b · x + c. הפתרונות של אי השוויון המרובע הלא קפדני a · x 2 + b · x + c≥0 ו- · x 2 + b · x + c≤0 יהיו אותם אינטרוולים, אך יש לכלול את המספרים x בהם1 ו- x2 המתאים לשוויון a · x 2 + b · x + c = 0.

ועכשיו בקצרה: עבור a> 0 ו- D = b 2 −4 · a · c> 0 (או D '= D / 4> 0 עבור מקדם אחיד b)

  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c> 0 הוא (−∞, x1) ∪ (x2, + ∞) או בסימון אחר x, x> x2 ,
  • על ידי פתרון אי השוויון המרובע א2+ b · x + c≥0 הוא (−∞, x1] ∪ [x2, + ∞) או בסימון אחר x≤x1 , x≥x2 ,
  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a x 2 + b · x + c הוא (x1, x2) או בערך אחר x1 ,
  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c≤0 הוא [x1, x2] או בערך אחר x1≤x≤x2 ,

איפה x1 ו- x2 הם שורשי הטרינום המרובע a · x 2 + b · x + c, ו- x1 .



כאן אנו רואים פרבולה שענפיה מופנים כלפי מעלה, ואשר נוגעת בציר האבסיססה, כלומר יש נקודה אחת משותפת איתה, אנו מציינים את האבסצ'ה של נקודה זו על ידי x0 . המקרה שהוצג תואם A> 0 (הענפים מכוונים כלפי מעלה) ו- D = 0 (לטרינום המרובע יש שורש אחד x0 ) לדוגמה, אנו יכולים לקחת את הפונקציה הריבועית y = x 2 −4 · x + 4, כאן a = 1> 0, D = (- 4) 2 −4 · 1 · 4 = 0 ו- x0=2 .

הרישום מראה בבירור כי הפרבולה ממוקמת מעל ציר השור בכל מקום, למעט נקודת המנגנון, כלומר במרווחים (−∞, x0), (x0, ∞). לשם הבהרה, אנו בוחרים אזורים על הרישום על ידי אנלוגיה לפסקה הקודמת.

אנו מסיקים מסקנות: עבור a> 0 ו- D = 0

  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c> 0 הוא (−∞, x0) ∪ (x0, + ∞) או בסימון אחר x ≠ x0 ,
  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c≥0 הוא (−∞, + ∞) או בסימון אחר x∈R,
  • לחוסר השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c אין פתרונות (אין מרווחים עליהם נמצאת הפרבולה מתחת לציר השור),
  • לאי-השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c≤0 יש פיתרון ייחודי x = x0 (זה נותן לך נקודת מגע)

איפה x0 הוא שורש הטרינום המרובע a · x 2 + b · x + c.



במקרה זה, ענפי הפרבולה מופנים כלפי מעלה, ואין לו נקודות שכיחות עם ציר האבסיסה. כאן יש לנו את התנאים a> 0 (הענפים מופנים כלפי מעלה) ו- D (לטרינום המרובע אין שורשים אמיתיים). לדוגמה, אנו יכולים לשרטט את הפונקציה y = 2 · x 2 +1, כאן a = 2> 0, D = 0 2 −4 · 2 · 1 = −8.

ברור שהפרבולה ממוקמת מעל ציר השור לכל אורכו (אין מרווחים שבהם היא נמצאת מתחת לציר השור, אין שום נקודת משיכות).

לפיכך, עבור a> 0 ו- D, הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c> 0 ו- a · x 2 + b · x + c≥0 הוא הסט של כל המספרים האמיתיים, והאי-שוויון a · x 2 + b · x + c ו- a · x 2 + b · x + c≤0 אין פתרונות.

ונשארות שלוש אפשרויות למיקום הפרבולה כאשר הענפים מופנים כלפי מטה, ולא כלפי מעלה, יחסית לציר שור. באופן עקרוני, יתכן שהם אינם רואים בחשבון, מכיוון שכפלת שני הצדדים של אי השוויון ב -1 מאפשר לנו לעבור לאי-השוויון המקביל עם מקדם חיובי בגודל x 2. ובכל זאת, לא כואב לקבל מושג לגבי המקרים הללו. ההנמקה כאן דומה, ולכן אנו כותבים רק את התוצאות העיקריות.



עבור a ו- D> 0

  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c> 0 הוא (x1, x2) או בערך אחר x1 ,
  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c≥0 הוא [x1, x2] או בערך אחר x1≤x≤x2 ,
  • הפיתרון של אי השוויון הריבועי a · x 2 + b · x + c הוא (−∞, x1) ∪ (x2, + ∞) או בסימון אחר x, x> x2 ,
  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c≤0 הוא (−∞, x1] ∪ [x2, + ∞) או בסימון אחר x≤x1, x≥x2 ,

איפה x1 ו- x2 הם שורשי הטרינום המרובע a · x 2 + b · x + c, ו- x1 .



עבור a ו- D = 0

  • אי-השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c> 0 אין פתרונות,
  • לאי-השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c≥0 יש פיתרון ייחודי x = x0 ,
  • הפיתרון של אי השוויון a · x 2 + b · x + c הוא (−∞, x0) ∪ (x0, + ∞) או בסימון אחר x ≠ x0 ,
  • הפיתרון של אי השוויון הריבועי a · x 2 + b · x + c≤0 הוא מערך כל המספרים האמיתיים (−∞, + ∞) או בסימון אחר x∈R,

איפה x0 הוא שורש הטרינום המרובע a · x 2 + b · x + c.



עבור a ו- D, לאי-השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c> 0 ו- a · x 2 + b · x + c≥0 אין פתרונות, ועל ידי פתרון האי-שוויון a · x 2 + b · x + c ו- · X 2 + b · x + c≤0 הוא הסט של כל המספרים האמיתיים.

אלגוריתם החלטה

התוצאה של כל החישובים הקודמים היא אלגוריתם לפיתרון אי השוויון המרובע בצורה גרפית:

במישור הקואורדינטות מתבצע ציור סכמטי עליו מתואר ציר השור (ציר Oy הוא אופציונלי) ורישום של הפרבולה המתאימה לפונקציה הריבועית y = a · x 2 + b · x + c. כדי לבנות סקיצה של פרבולה, מספיק לגלות שתי נקודות:

  • ראשית, בערך המקדם a, מסתבר לאן מכוונים ענפיו (עבור A> 0 - למעלה, עבור - למטה).
  • ושנית, הערך של המבחין של הטרינום המרובע a · x 2 + b · x + c מגלה האם הפרבולה מצטלבת את ציר האבסיסה בשתי נקודות (עבור D> 0), נוגעת בו בנקודה אחת (ב D = 0), או אין נקודות משותפות עם ציר שור (עבור D). לנוחיות הקואורדינטות של נקודות הצומת או הקואורדינטה של ​​נקודת המנגנון (אם קיימות נקודות אלה) מצוינות על גבי הרישום, והנקודות עצמן מוצגות כנקב בעת פתרון אי שוויון קפדני, או רגיל בעת פיתרון אי שוויון לא קפדני.

כאשר הציור מוכן, עליו בשלב השני של האלגוריתם

  • כאשר פותרים את אי השוויון הריבועי a · x 2 + b · x + c> 0, נקבעים המרווחים שבהם הפרבולה ממוקמת מעל האבסיסה,
  • כאשר פותרים את אי השוויון a · x 2 + b · x + c≥0, נקבעים האינטרוולים שבהם מתווספת הפרבולה מעל ציר האבסיסה והאבסיסות של נקודות הצומת (או האבססיטה של ​​נקודת המנגנון) מתווספות אליהם,
  • כאשר פותרים את אי השוויון a · x 2 + b · x + c, ישנם פערים עליהם הפרבולה נמצאת מתחת לציר שור,
  • לבסוף, כאשר פותרים אי שוויון מרובע בצורת a · x 2 + b · x + c≤0, ישנם פערים שבהם הפרבולה נמצאת מתחת לציר השור ומוסיפים אליהם את האבסיסות של נקודות הצומת (או האבססיטה של ​​נקודת המנגנון),

הם מהווים את הפיתרון הרצוי לאי-השוויון המרובע, ואם אין פערים כאלה ואין נקודות משיכה, אזי לאי-השוויון המרובע המקורי אין פתרונות.

נותר רק לפתור כמה אי שוויון מרובע באמצעות אלגוריתם זה.

תמצית השיטה הגרפית

השיטה מתאימה לפיתרון אי שוויון, לא רק ריבועים. מהותה היא זו: הצדדים הימניים והשמאליים של אי השוויון נחשבים לשתי פונקציות נפרדות y = f (x) ו- y = g (x), הגרפים שלהם בנויים במערכת קואורדינטות מלבנית והם נראים איזה מהגרפים ממוקם מעל השני, ואיזה מרווחים. הפערים מוערכים כדלקמן:

  • הפתרונות של אי השוויון f (x)> g (x) הם הרווחים שבהם הגרף של הפונקציה f הוא גבוה יותר מאשר הגרף של הפונקציה g,
  • הפתרונות של אי השוויון f (x) ≥ g (x) הם הרווחים שבהם הגרף של f אינו נמוך מתרשים ה- g,
  • הפתרונות של אי השוויון f (x) g (x) הם הרווחים שבהם הגרף של הפונקציה f הוא נמוך יותר מאשר הגרף של הפונקציה g,
  • הפתרונות של אי השוויון f (x) ≤ g (x) הם הרווחים שבהם הגרף של f אינו גבוה יותר מאשר הגרף של g,
  • האביסיסות של נקודות הצומת של הגרפים של הפונקציות f ו- g הן פתרונות של המשוואה f (x) = g (x).

שקול את האלגוריתם לעיל באמצעות דוגמה. לשם כך, קח את אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c 0 (≤,>, ≥) והפיק ממנו שתי פונקציות. הצד השמאלי של אי השוויון יתאים ל y = a · x 2 + b · x + c (במקרה זה, f (x) = a · x 2 + b · x + c), והימין y = 0 (במקרה זה, g (x) = 0).

הגרף של הפונקציה הראשונה הוא פרבולה, השנייה היא קו ישר שתואם את ציר ה- x. בואו ננתח את מיקום הפרבולה ביחס לציר O x. לשם כך אנו מבצעים רישום סכמטי.

פיתרון עם שני שורשים בטרינום ריבועי

ענפי הפרבולה מופנים כלפי מעלה. זה חוצה את ציר ה- x בנקודות x 1 ו x 2 . המקדם a במקרה זה הוא חיובי, שכן הוא זה שאחראי על כיוון ענפי הפרבולה. ההבדל הוא חיובי, מה שמצביע על נוכחות של שני שורשים בטרינום המרובע a x 2 + b x x c . שורשי הטרינומיום שציינו אותם x 1 ו x 2 , וקיבלתי את זה x 1 x 2 , מכיוון שמצוינת נקודה עם אבסיססה על ציר ה- O x x 1 משמאל לנקודת האבסיסה x 2 .

חלקי הפרבולה הממוקמים מעל ציר ה- O מסומנים באדום, למטה - בכחול. זה יאפשר לנו להפוך את התמונה חזותית יותר.

בחר את הפערים התואמים לחלקים אלה וסמן אותם באיור עם שדות בצבע מסוים.

סימנו באדום את הפערים (- ∞, x 1) ו- (x 2, + ∞), עליהם פרבולה מעל ציר O x. הם הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c> 0. סימנו בכחול את המרווח (x 1, x 2), המהווה פיתרון לאי-השוויון a · x 2 + b · x + c 0. המספרים x 1 ו- x 2 יתאימו לשוויון a · x 2 + b · x + c = 0.

בואו לרשום את הפיתרון הקצר. עבור a> 0 ו- D = b 2 - 4 · a · c> 0 (או D '= D 4> 0 עבור מקדם אחיד b) נקבל:

  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c> 0 הוא (- ∞, x 1) ∪ (x 2, + ∞) או בסימון אחר x x 1, x> x 2,
  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c ≥ 0 הוא (- ∞, x 1] ∪ [x 2, + ∞) או, בסימון אחר, x ≤ x 1, x ≥ x 2,
  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c 0 הוא (x 1, x 2) או בסימון אחר x 1 x x 2,
  • הפיתרון של אי השוויון המרובע a · x 2 + b · x + c ≤ 0 הוא בסימון אחר x 1 ≤ x ≤ x 2,

כאשר x 1 ו- x 2 הם שורשי הטרינום המרובע a · x 2 + b · x + c, ו- x 1 x 2.

פיתרון שורש יחיד לטרינום ריבועי

באיור זה הפרבולה נוגעת בציר ה- O x בנקודה אחת בלבד, המצוינת כ- x 0 . ענפי הפרבולה מופנים כלפי מעלה, מה שאומר a> 0 . D = 0 לכן לטרינום המרובע יש שורש אחד x 0 .

הפרבולה ממוקמת לחלוטין מעל ציר ה- O x, למעט נקודת המגע של ציר הקואורדינטות. אנו מציינים בצבע את המרווחים (- ∞, x 0), (x 0, ∞).

רשמו את התוצאות. בשעה a> 0 ו D = 0 :

  • לפתור את אי השוויון המרובע a x 2 + b x x c> 0 הוא (- ∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) או בסימון אחר x ≠ x 0 ,
  • לפתור את אי השוויון המרובע a x 2 + b x x c ≥ 0 הוא ( − ∞ , + ∞ ) או בסימון אחר x ∈ R,
  • אי שוויון מרובע a x 2 + b x x c 0 אין פתרונות (אין מרווחים שבהם נמצאת הפרבולה מתחת לציר O x ),
  • אי שוויון מרובע a x 2 + b x x c ≤ 0 יש את הפיתרון היחיד x = x 0 (זה נותן לך נקודת מגע)

איפה x 0 - שורש הטרינום המרובע a x 2 + b x x c .

הפיתרון של טרינום רבוע ללא שורש

הבה נבחן את המקרה השלישי כאשר ענפי הפרבולה מופנים כלפי מעלה ואינם נוגעים בציר O x . ענפי הפרבולה מופנים כלפי מעלה, מה שאומר a> 0 . לטרינום המרובע אין שורשים אמיתיים, מאז D 0 .

אין מרווחים בתרשים שבהם הפרבולה תהיה מתחת לציר האבסיסה. אנו ניקח זאת בחשבון בבחירת צבע לציור שלנו.

מסתבר שעם a> 0 ו D 0 פתרון אי השוויון המרובע a x 2 + b x x c> 0 ו a x 2 + b x x c ≥ 0 היא הקבוצה של כל המספרים האמיתיים, ואי-השוויון a x 2 + b x x c 0 ו a x 2 + b x x c ≤ 0 אין פתרונות.

עלינו לשקול שלוש אפשרויות כאשר סניפי הפרבולה מופנים כלפי מטה. לא ניתן לעצור את שלושת האפשרויות הללו בפירוט, מכיוון שכאשר אנו מכפילים את שני צידי האי-שוויון ב -1, אנו מקבלים אי שוויון שווה ערך עם מקדם חיובי בגודל x 2.

מדריך וידאו זה זמין בהרשמה.

כבר יש לך מנוי? התחבר

במהלך השיעור תוכלו ללמוד באופן עצמאי את הנושא "פיתרון גרפי של משוואות, אי שוויון." המורה בשיעור ינתח את השיטות הגרפיות לפיתרון משוואות ואי-שוויון. זה ילמד אותך כיצד לבנות גרפים, לנתח אותם ולקבל פתרונות למשוואות ואי-שוויון. השיעור יכסה גם דוגמאות ספציפיות בנושא זה.

נושא: פונקציות נומריות

שיעור: פיתרון גרפי של משוואות, אי שוויון

1. נושא השיעור, מבוא

בחנו גרפים של פונקציות אלמנטריות, כולל גרפים של פונקציות כוח עם אקספוננטים שונים. בחנו גם את הכללים לשינוי ושינוי גרפי פונקציות. יש ליישם את כל המיומנויות הללו בעת הצורך. גרפיההחלטה משוואות או גרפיקה ההחלטהאי-שוויון.

2. פתרון משוואות ואי-שוויון בצורה גרפית

דוגמה 1. פתרו את המשוואה באופן גרפי:

אנו בונים את גרשי הפונקציה (איור 1).

גרף פונקציה

הגרף של הפונקציה הוא קו ישר, אנו בונים אותה לפי הטבלה.

הגרפים מצטלבים בנקודה המצטמצמת בצורה מונוטונית, מה שאומר שנקודת הצומת שלהם היא ייחודית.

התשובה היא:

דוגמא 2. לפתור את אי השוויון

א.

ב.

א. על מנת לספק את אי השוויון, גרף הפונקציה

ב. במקרה זה, להפך, פרבולה

א.

ב.

דוגמא 3. לפתור את אי השוויון

אנו בונים את גרשי הפונקציה (איור 2).

מצא את שורש המשוואה.

כך שחוסר השוויון מחזיק.

התשובה היא:

דוגמא 4. לפתור את אי השוויון בצורה גרפית:

א.

ב.

היקף:

אנו בונים את גרשי הפונקציה (איור 3).

א. גרף פונקציה

ב. גרף פונקציה

א.

ב.

3. מסקנה

בחנו את השיטה הגרפית לפיתרון משוואות ואי-שוויון, בחנו דוגמאות ספציפיות, בפיתרון בהן השתמשנו בתכונות כאלה של פונקציות כמו מונוטוניות ו זוגיות.

רשימת קריאה מומלצת

1. Mordkovich A.G. ואחרים. אלגברה 9 תאים: ספר לימוד. לחינוך כללי. מוסדות - מהדורה רביעית. - מ .: מנמוזין, 2002.-192 עמ ': חולה.

2. מורדקוביץ 'A.G. אלגברה בכיתה ט ': ספר בעיות לתלמידי מוסדות חינוך כלליים / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ואחרים. - מהדורה רביעית. - מ .: מנמוזן, 2002.-143 עמ ': חולה.

3. מקרייצ'וב יו. נ. אלגברה. כיתה ט ': ספר לימוד. לתלמידי השכלה כללית. מוסדות / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, I.E. Feoktistov. - מהדורה 7, הכמרית ולהוסיף. - מ .: מנמוזין, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. אלגברה כיתה ט. מהדורה 16 - מ ', 2011 .-- 287 עמ'.

5. מרדקוביץ 'א. ג. אלגברה. כיתה ט. בשעתיים, חלק 1. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - מהדורה 12. - M .: 2010. - 224 עמ ': Ill.

6. אלגברה. כיתה ט. תוך שעתיים. חלק 2. חידות לתלמידי מוסדות חינוך / A. G. Mordkovich, L. A. Alexandrova, T. N. Mishustina ואחרים, Ed. א. ג. מרדקוביץ. - מהדורה 12, הכמרית - M .: 2010.-223 עמ ': חולה.

קישורי אינטרנט מומלצים

1. פרק College.ru בנושא מתמטיקה (מקור).

2. פרויקט אינטרנט "משימות" (מקור).

3. פורטל חינוכי "אני פותר את הבחינה" (מקור).

שיעורי בית מומלצים

1. Mordkovich A.G. אלגברה בכיתה ט ': ספר בעיות לתלמידי מוסדות חינוך כלליים / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ואחרים. - מהדורה רביעית. - מ .: מנמוזן, 2002.-143 עמ ': חולה. מס '355, 356, 364.

אם אתה מוצא שגיאה או קישור שבור, אנא הודע לנו - תרום את תרומתך לפיתוח הפרויקט.

Pin
Send
Share
Send
Send