טיפים שימושיים

כיצד לגזור את נוסחת האנרגיה הקינטית

Pin
Send
Share
Send
Send


מאיזו ביטוי כללי יותר נגזרת נוסחת האנרגיה הקינטית?

מהנוסחה ניתן להסיק מהגדרת העבודה כהבדל בין אנרגיות קינטיות A = Ek2-Ek1.

ונוסחאות: עבודה A = F * S (כוח * דרך).

מאז F = m * a אז A = m * a * S

יתר על כן, מהאצת הקינמטיקה: a = (V2-V1) / t

S = (V2 + V1) * t / 2- שביל עם תנועה מואצת באופן אחיד.

אנו מחליפים כמויות אלה בנוסחת העבודה: A = m * ((V2-V1) / t) * ((V2 + V1) * t / 2)

אנו מצמצמים את הביטוי על ידי t והסוגריים עם הסכום והבדל המהירויות, אנו הופכים להבדל בין ריבועי המהירות:

אנו מרחיבים את הסוגריים: A = m * V2 ^ 2/2 - m * V1 ^ 2/2.

לפיכך, ההבדל בנוסחה האחרונה תואם את הנוסחה הראשונה.

אנו משיגים נוסחאות לאנרגיה קינטית בכל נקודה:

Ek2 = m * V2 ^ 2/2

Ek1 = m * V1 ^ 2/2

ראשית, נגזרת נוסחת האנרגיה הפוטנציאלית, ונוסחת האנרגיה הקינטית כבר נגזרת ממנה. את הנוסחה של אנרגיה פוטנציאלית קיבל יצחק ניוטון בספרו המפורסם "עקרונות מתמטיים של פילוסופיה טבעית". הוא נימק בערך כדלקמן.

תן לאיזה חפץ לשכב על כף ידי. אני ארים את כף היד עם האובייקט לאט מאוד ובאופן שווה כך שכוח התגובה של כף היד N יתאזן על ידי כוח המשיכה של העצם P, והאנרגיה הקינטית תהיה כמעט אפס בגלל המהירות הנמוכה מאוד. לאן עוברת היצירה A = INT (P dh) = mgh, שאני עושה בנושא? הוא הופך לאנרגיה הפוטנציאלית הגלויה של האובייקט, שיכולה להפוך לאנרגיה קינטית ברורה אם מותר לאובייקט ליפול בחופשיות.

עכשיו התבונן בטעות שעשה ניוטון. אם מספר כוחות F1, F2, F3 וכן הלאה פועלים בבת אחת על עצם, אז כדי לחשב את סך האנרגיה המופקת על ידי כל הכוחות יחד, עליכם להחליף את הכוח המתקבל, ולא את אחד הכוחות הספציפיים, תחת הסימן האינטגרלי. וניוטון סגר כוח פרטי, כוח המשקל. מכיוון שבמקרה שנחשב על ידו, הכוח המתקבל הוא אפס (כוח המשקל מאוזן על ידי כוח תגובת כף היד), חישוב נכון יראה אפס עבודה. ואם העבודה היא אפס, אז האנרגיה של האובייקט לא משתנה. ואם זה היה שווה לאפס בנקודת ההתחלה של העלייה, הוא יישאר שווה לאפס ללא קשר לגובה העלייה. במילים אחרות, אנרגיה פוטנציאלית לא קיימת בטבע. אך בפועל, אנו מודעים היטב לכך שהרמת חפץ כבד מלווה בהוצאת אנרגיה. אז המסקנה לגבי אפס עבודה שגויה? לא, הוא צודק. זה פשוט שהעבודה לא תבוצע על הפריט שמונע אלא על משהו אחר. הנוסחה mgh אינה מתארת ​​את האנרגיה הפוטנציאלית של אובייקט, אלא את האנרגיה של משהו אחר.

כעת אנו פונים לאנרגיה קינטית. בקינמטיקה (מדע של תנועה אחידה ולא אחידה) יש נוסחה כזו V1 V1 - V0 V0 = 2aS לתנועה מואצת, כאשר V0 היא המהירות ההתחלתית, V1 הוא המהירות הסופית, a הוא התאוצה, S הוא אורך הנתיב שנסע. אם ברגע הזמן הראשוני המהירות של העצם V0 הייתה שווה לאפס, אז הבעת תוצר ההאצה באורך והחלפתו בנוסחת האנרגיה הפוטנציאלית, נקבל mVV / 2, כלומר נוסחת האנרגיה הקינטית. ועכשיו נסביר. אם מתחם ה- mgh אינו מתאר את האנרגיה הפוטנציאלית של האובייקט, אלא משהו אחר, הנוסחה mVV / 2 המתקבלת ממנו תתאר גם לא את האנרגיה הקינטית של האובייקט, אלא את האנרגיה של משהו אחר. ומה בדיוק - אנסה להסביר את זה עכשיו.

כאשר אנו מרימים חפץ כלשהו, ​​אנו לא מתגברים על ההתנגדות של האובייקט, אלא של שדה הכבידה. לכן, נעבוד על שדה הכבידה ונגדיל את האנרגיה שלו בערך E = mgh. וכאשר אנו זורקים חפץ, באמצעות תנועתו המואצת אנו מעוותים את מבנה הוואקום הפיזי הסובב אותנו, אנו עובדים עליו ומגדילים את האנרגיה שלו על ידי E = mVV / 2. כך, במקום אנרגיה פוטנציאלית, יש את האנרגיה של שדה הכבידה, ובמקום אנרגיה קינטית, יש את האנרגיה של ואקום פיזי.

9. כוחות שמרניים ולא שמרנים. הקשר בין כוח ל

אנרגיה פוטנציאלית. שיפוע של אנרגיה פוטנציאלית. התנאי הוא

גישת האנרגיה הסקלית במכניקה פורה במיוחד במקרה של מה שמכונה שמרןאינטראקציות, בהם עבודת הכוחות הנייחים אינה תלויה בצורת המסלול, אלא נקבעת רק על ידי העמדות הראשוניות והסופיות של הגוף.

כוחות האינטראקציה הכבידה, כוחות הגמישות, אך לא כוחות החיכוך וההתנגדות, שמרניים. עבור כוחות שמרניים, ניתן להציג מאפיין אנרגטי כזהאנרגיה פוטנציאליתשהוא פונקציה חד משמעית של קואורדינטות (מיקום) ואשר יחד עם אנרגיה קינטית - פונקציה של מהירות מהווה את האנרגיה המכנית הכוללת של הגוף (מערכות).

שלא כמו אנרגיה קינטית Eל = m 2 2, שהיא פונקציה ייחודית, המתבטאת באופן אחיד של מהירויות, ובמובן, מדד תנועה דינמי סקלרי, אנרגיה פוטנציאלית הn - הוא מדד סקלרי של אינטראקציות שמרניות ואין לו ביטוי אחיד דרך הקואורדינטות (מיקום) של הגוף.

כוחות שמרניים - כוחות שעבודתם אינה תלויה בצורת המסלול שלאורכו נע הגוף נקבעת בנקודות ההתחלה והסיום של מסלול העבודה, עבודתם של כוחות אלה בלולאה סגורה = 0

כוחות מפיצים - כוחות שעבודתם תלויה בצורת מסלול דרכו נע הגוף.

האינטראקציה בתוצאת החתול בין הגופות מביאה לזיעה של כוח, המתבצעת באמצעות שדה זיעה בכוח.

הקשר בין כוח לאנרגיה פוטנציאלית. שיפוע של אנרגיה פוטנציאלית.

על הגוף, מיקומו בשדה הזיעה נקבע על ידי וקטור הרדיוס r: F = xi + yj + zk

מעבר צבע - מפעיל המציג אילו פעולות צריך לבצע בפונקציה סקלרית. הוא וקטור המכוון לעליה המהירה ביותר בתפקוד הסקלרי. ואז נוצר החיבור בין F ל- En באופן הבא: כוח = gradEn שנלקח עם הסימן ההפוך => F מכוון לכיוון הגרד ההפוך.

ניתן להגדיר כוחות התלויים רק בקואורדינטות (ניתן להגדיר כוחות שאינם תלויים בזמן, נייחים) באמצעות שדות כוח - אזורים בחלל, כאשר בכל נקודה פועל כוח מסוים על הגוף. דוגמאות לשדות כוח הם שדה הכבידה ובעיקר שדה הכובד, שדה אלקטרוסטטי וכו '.

כוחות (ושדות), עבודהא12שבנתיב בין שתי נקודות 1 ו -2 כלשהן אינו תלוי בצורת המסלול ביניהןנקראים פוטנציאל, ואם הם נייחים, הם נקראיםאנושניים. פוטנציאל זה הכל הומוגני שדות (בכל נקודה של שדות כאלה הכוח לא משתנה), כמו גם שדות כוחות מרכזיים (הם תלויים רק במרחק בין הנקודות האינטראקציה ומכוונים לאורך הקו הישר שמחבר ביניהם).

אנו משיגים את הנוסחה לקשר שבין חוזק שדות כאלה לאנרגיה פוטנציאלית. מהקשר של עבודה עם אנרגיה פוטנציאלית12 = ודr = הp1 - הn2 , או, לעבודה יסודית: =А = וdr = - dЕn. תוך התחשבות בכך וdr = וsds, שם ds = dr הוא הנתיב היסודי / העקירה / ו- Fr = Fcos  - הקרנת הווקטור ו לזוז דrלכתוב: וrds = - dЕnאיפה - dЕn - יש ירידה באנרגיה הפוטנציאלית בכיוון העקירה דר. מכאן fr= - Еnאם כן, הנגזרת החלקית r נלקחת בכיוון נתון כלשהו.

בצורה וקטורית ניתן ליצור את הקשר הדיפרנציאלי בין כוח לבין אנרגיה פוטנציאלית כדלקמן:

ו = -(iЕnx + jЕnU + kЕnz) = - grad Еn = - הnאיפה מפעיל הווקטור הסמלי (הסכום הווקטורי של הנגזרות החלקיות הראשונות ביחס לקואורדינטות המרחביות) נקרא מפעיל Nabl או שיפוע תפקוד סקלרי (במקרה זה, אנרגיה פוטנציאלית).

אז כוח ו = - דרגה En = - הn בשדה הפוטנציאלי יש אנטי שיפוע / שיפוע עם סימן מינוס / אנרגיה פוטנציאלית, או, אחרת - הנגזרת המרחבית, מהירות הירידה של האנרגיה הפוטנציאלית בחלל בכיוון מסוים.

ניתן להבהיר את המשמעות של מעבר צבע על ידי הצגת המושג eמשטח פוטנציאלי - ב כל הנקודות בהן אנרגיה פוטנציאלית הnיש את אותה משמעות, כלומר. הn=const.

מהנוסחה ו = - הn מכאן נובע כי השלכת הווקטור ו לכיוון המשיק למשטח האקוויו-פוטנציאלי בכל נקודה השווה לאפס. משמעות הדבר היא שהווקטור ו משטח E רגיל לציודn = const.

אם הלאה, קח את הד"ר דרnואז dЕn 0, כלומר וקטור ו מכוון למטה En. השיפוע מ- En יש וקטור המכוון נורמלי למשטח האקוווטוטנציאלי בכיוון העלייה המהירה ביותר בתפקוד הסקלרי / כאן - אנרגיה פוטנציאלית /.

על ידי הדוגמה של שדה כבידה, שכוחו פרופורציונלי ישירות למסת הגוף, כלומר F = m1מ2ב- 2, אנו יכולים להניח שכל אחד מהגופים האינטראקציה נמצא בשדה הכוח של האחר: F = mМr 2 = gm, כאשר g = Fm = Мr 2 הוא כוח שדה הכבידה / ספציפי כוח - מחושב ליחידת מסת / שנוצר על ידי גוף בעל מסה M.

מתוך יחסי כוח עם אנרגיה פוטנציאלית נובע:

או  זdr = 1 - 2 שם  = En/ m הוא הפוטנציאל של שדה הכבידה, שהוא המסה / אנרגיה פוטנציאלית ליחידה.

או ז = - דרגה  = -  היא הנוסחה לקשר בין מתח לפוטנציאל של שדה הכבידה, המתח הוא האנטי סגריר של הפוטנציאל.

תנו לחלקיק לנוע בשדה פוטנציאלי חד ממדי שהפרופיל שלו, כלומר התלות En (x) מוצג באיור בצורה של מה שנקרא עקומה פוטנציאלית.

מחוק שימור האנרגיה המכנית: E = Eל + הn = m 2 2 + En/ x / = const יוצא כי באזור בו En > חלקיק E לא יכול לקבל. לפיכך, אם סך האנרגיה E של חלקיק שווה ל- E1 אני רואה איור /. ואז החלקיק יכול לנוע באזור  בין קואורדינטות x1 ו- x2 (מתנדנד באזור זה, המכונה הבאר הפוטנציאלית), או באזור , מימין לקואורדינטת ה- x3. אך החלקיק לא יכול לעבור מאזור I לאזור II או להפך, מחסום פוטנציאלי בגובה E מונע זאתב  ה1הפרדת אזורים אלה.

חלקיק עם אנרגיה E2גובה גדול יותר של המכשול הפוטנציאלי (E2  הב), יכול לנוע באזור כולו מימין ל- xבערך. האנרגיה הקינטית שלו תגדל (באזור xבערך ל- x ) ואז נופלים (באזור מ- x  ל- x ) ואז גדלים שוב באזור x  x .

בנקודה x יש שיווי משקל יציב, כאן En = הדקה ו וx = -גרדx הn = - Еnх = 0. כאשר הגוף נעקר ממנו על ידי dx  0, dЕn  0 והכוח פועל על הגוף

וx = - Еnx  0, שהוא בעל תו שמחזיר את הגוף למצב שיווי המשקל.

בנקודה x יש שיווי משקל לא יציב,

כאן הn = הn מקסימום ו- F = - דרגה En = - Еnх = 0. כאשר הגוף נעקר ממנו על ידי dx  0, dЕn  0, והכוח F פועל על הגוףx = - Еnх  0, שיש לו אופי שמסטה את הגוף ממצב שיווי המשקל.

Pin
Send
Share
Send
Send